分数の掛け算の公式。
子供に聞かれたら何と答えますか？
正しい公式は教えられても、なんでこうなってるのかは分からない、もしくは分からなくなってしまった人も多いのではないでしょうか。
ネットで調べても、案外成り立ちについては書かれていなかったので、今回記事にしてみることにしました。
※途中わかりにくいところがありましたら、是非とも「固定ページ」の「お問い合わせ」からお問い合わせください。改良の参考にいたします。
分数の掛け算の公式
分数の掛け算の公式は以下の通りです。
では、なぜこの公式になるのか、説明できますか？
まず分数の意味を考えよう
分数の公式を理解するうえで、まず大切なのは分数の意味を再確認することです。
そもそも分数とはどういう意味なのでしょうか？
「1/2」は「（１を）２つに分けた内の１つ」という意味です。
「1/3」は「（１を）３つに分けた内の１つ」という意味です。
「2/3」は「（１を）３つに分けた内の２つ」という意味になります。
掛け算とはそもそも何か？
いっぽうで、掛け算とはそもそも何かについて再度考えてみると、分数の掛け算についてよく分かるようになります。
まず、２×２について考えてみましょう。
「２×２」は「２が２つあること」で、つまり「２＋２」ということです。
「２×３」は「２が３つあること」で、つまり「２＋２＋２」ということです。
では、２×１はどうなるでしょうか？
「２×１」は「２が１つあること」で、つまり「２」ということです。
ここまでをまとめてみます。
「２×３」は「２が３つあること」＝「２＋２＋２」
「２×２」は「２が２つあること」＝「２＋２」
「２×１」は「２が１つあること」＝「２」
分数の掛け算について考える
さて、ここで本題である「分数の掛け算」について考えてみます
まず、「２×1/2」について考えてみましょう。
「２×1/2」は「２が1/2つあること」＝？
ここで、先ほどの分数の概念を思い出します。
「1/2」は「１を２つに分けた１つ分」でしたね。
だから、
「２×1/2」は「２が（を）『（１を）２つに分けた１つ分』あること」という意味になります。
つまり、「２÷２×１」ということになります。
では、次に「1/2×1/2」について考えてみましょう。
「1/2×1/2」は「『（１を）２つに分けた１つ分』が『（１を）２つに分けた１つ分』ある」という意味です。
つまり、「１÷２×１×１÷２×１」ということになります。
これを整理すると、「１×１×１×１÷２÷２」ということになります。
＝「１÷２÷２」
＝「１を２つに分けて、（さらに）２つに分ける」
＝1/4という答えが導き出せるわけです。
分数の公式について考える
最後に、分数の公式を導くために、文字を使って考えてみましょう。
まず、分子が１の場合です。
「1/b×1/d」は、「『（１を）ｂつに分けた1つ分』が『（１を）ｄ個に分けた１
個分』ある」といういみです。
つまり、「１÷ｂ×１×１÷ｄ×１」ということになります。
これを整理すると、「１×ｂ÷１÷ｄ」ということになります。
＝「（１/ｃ）÷ｄ」・・①
＝「１/（ｃ×ｄ）」・・②
▽①から②になる理由▽
先ほどは分子には１を使っていましたが、より一般的な公式を導くために、分子にも文字を使って考えてみましょう。
「a/b×c/d」は、「『（１を）ｂつに分けたａつ分』が『（１を）ｄ個に分けたｃ個分』ある」といういみです。
つまり、「１÷ｂ×ａ×１÷ｄ×ｃ」ということになります。
これを整理すると、「ａ×ｃ÷ｂ÷ｄ」ということになります。
＝「（（ａ×ｃ）/ｂ）÷ｄ」
＝「（ａ×ｃ）/（ｂ×ｄ）」
